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数学章A 複素数

定義

虚数を次のように定義する。

虚数を用いて複素数は次のように表す。

ここでxを実部(real part)、yを虚部(imaginary part)と呼ぶ。

実部、虚部はそれぞれ次のように表す。

Re(z)、Im(z)の代わりにのような書き方が使われる場合もある。

和と積

複素数の和は実部と虚部をそれぞれ足せば良い。

複素数の積は二項式として計算すれば良い。

まず複素共役を定義する。複素数の複素共役は、

である。すなわち、虚部の符号を変えたものが複素共役となる。また、

[zz^*=x^2+y^2]

であり、複素数にその複素共役をかけたものは実数となる。

商を計算する場合は分母の複素共役を分母分子の両方にかける。これにより分母が実数となるのでの形に記述できる。

複素平面

実部を横軸(x軸)、虚部を縦軸(y軸)とした二次元座標系を複素平面と呼ぶ。

複素平面上において原点から座標(x, y)までのベクトルの長さを複素数大きさと言い、と書く。

である。

また、がx軸となす角θはzの位相角である。

オイラーの式

は次のようにも表示できる。

ここで前者を直交座標表示、後者を極座標表示と呼ぶ。

直交座標表示と極座標表示は次のオイラーの式によりいつでも変換できる。

極座標表示において、

であることに注意する。

演習問題

略。