虚数を次のように定義する。
虚数を用いて複素数は次のように表す。
ここでxを実部(real part)、yを虚部(imaginary part)と呼ぶ。
実部、虚部はそれぞれ次のように表す。
Re(z)、Im(z)の代わりに、
のような書き方が使われる場合もある。
複素数の和は実部と虚部をそれぞれ足せば良い。
複素数の積は二項式として計算すれば良い。
まず複素共役を定義する。複素数の複素共役は、
である。すなわち、虚部の符号を変えたものが複素共役となる。また、
[zz^*=x^2+y^2]
であり、複素数にその複素共役をかけたものは実数となる。
商を計算する場合は分母の複素共役を分母分子の両方にかける。これにより分母が実数となるのでの形に記述できる。
実部を横軸(x軸)、虚部を縦軸(y軸)とした二次元座標系を複素平面と呼ぶ。
複素平面上において原点から座標(x, y)までのベクトルの長さを複素数
の大きさと言い、
と書く。
である。
また、がx軸となす角θはzの位相角である。
は次のようにも表示できる。
ここで前者を直交座標表示、後者を極座標表示と呼ぶ。
直交座標表示と極座標表示は次のオイラーの式によりいつでも変換できる。
極座標表示において、
であることに注意する。
略。
