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* 数学章A 複素数
** 定義
虚数<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=i"/>を次のように定義する。
<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=i%3d%5csqrt%7b-1%7d"/>
虚数を用いて複素数は次のように表す。
<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=z%20%3d%20x%20%2b%20iy"/>
ここでxを<b>実部(real part)</b>、yを<b>虚部(imaginary part)</b>と呼ぶ。
実部、虚部はそれぞれ次のように表す。
<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=x%3d%5cmathrm%7bRe%7d(z)"/>
<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=y%3d%5cmathrm%7bIm%7d(z)"/>
Re(z)、Im(z)の代わりに<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5cRe%20z"/>、<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5cIm%20z"/>のような書き方が使われる場合もある。
** 和と積
複素数の和は実部と虚部をそれぞれ足せば良い。
<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=(a%2bbi)%20%2b%20(c%2bdi)%20%3d%20(a%2bc)%2b(b%2bd)i"/>
複素数の積は二項式として計算すれば良い。
<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=(a%2bbi)(c%2bdi)%3d(ac-bd)%2b(bc%2bad)i"/>
** 商
まず<b>複素共役</b>を定義する。複素数<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=z%3dx%2biy"/>の複素共役は、
<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=z%5e*%3dx-iy"/>
である。すなわち、虚部の符号を変えたものが複素共役となる。また、
[zz^*=x^2+y^2]
であり、複素数にその複素共役をかけたものは実数となる。
商を計算する場合は分母の複素共役を分母分子の両方にかける。これにより分母が実数となるので<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=z%3dx%2byi"/>の形に記述できる。
** 複素平面
実部を横軸(x軸)、虚部を縦軸(y軸)とした二次元座標系を複素平面と呼ぶ。
複素平面上において原点から座標(x, y)までのベクトル<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%7b%5cbf%20r%7d"/>の長さを複素数<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=z%3dx%2byi"/>の<b>大きさ</b>と言い、<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%7cz%7c"/>と書く。
<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%7cz%7c%3d%5csqrt%7bzz%5e*%7d"/>
である。
また、<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%7b%5cbf%20r%7d"/>がx軸となす角θはzの<b>位相角</b>である。
** オイラーの式
<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=z%3dx%2byi"/>は次のようにも表示できる。
<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=z%3dre%5e%7bi%5ctheta%7d"/>
ここで前者を直交座標表示、後者を極座標表示と呼ぶ。
直交座標表示と極座標表示は次の<b>オイラーの式</b>によりいつでも変換できる。
<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=e%5e%7bi%5ctheta%7d%3d%5ccos%5ctheta%20%2b%20i%5csin%5ctheta"/>
極座標表示において、
<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=z%5e*%3dre%5e%7b-i%5ctheta%7d"/>
<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=zz%5e*%3dr%5e2"/>
であることに注意する。
** 演習問題
略。